Son aquellas funciones en las que su regla de correspondencia es un polinomio y su dominio sera los números reales.
Funciones polinomicas de primer grado.
Tienen la siguiente forma:
f(x)=mx+n
Su gráfica sera una recta oblicua que esta definida por dos puntos de la función y su regla de correspondencia sera un polinomio de primer grado.
Estas a su vez se clasifican en:
Función afín.
Su gráfica rea una recta oblicua que esta definida por dos puntos de la función donde m es la pendiente de la recta y n el punto donde la recta corta al eje y y el valor de x es 0.
f(x)=mx+n
Ejemplo 1.
Tenemos la siguiente funcion f(x)=4x+3
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).
x
|
f(x)
|
-3
|
-9
|
-2
|
-5
|
-1
|
-1
|
0
|
3
|
1
|
7
|
2
|
11
|
3
|
15
|
Ahora procedemos a graficar la función.
Función lineal
Es una función polinomio de primer grado donde su trafica sera una recta y su forma es:
Tenemos la siguiente función f(x)=-5x-1
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).
Ahora procedemos a graficar la función.
Su regla esta compuesta por una contante por lo que su recta sera una linea recta paralela al eje y y su forma es:
Tenemos la siguiente función f(x)=-4
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x), cabe notar que como en la función no hay x que reemplazar todas las salidas serán -4.
Ahora procedemos a graficar la función.
Función identidad
Esta función tiene la particularidad de que los valores de x serán iguales a los valores y, su pendiente sera 1 y esta pasara por el origen, su forma es la siguiente:
f(x)=mx+b
Donde m es la pendiente, x es la variable independiente y b el intercepto en y.
Ejemplo 2.
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).
x
|
f(x)
|
-3
|
14
|
-2
|
9
|
-1
|
4
|
0
|
-1
|
1
|
-6
|
2
|
-11
|
3
|
-16
|
Ahora procedemos a graficar la función.
Función constante
Su regla esta compuesta por una contante por lo que su recta sera una linea recta paralela al eje y y su forma es:
f(x)=k
Donde k es una constante.
Ejemplo 3.
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x), cabe notar que como en la función no hay x que reemplazar todas las salidas serán -4.
x
|
f(x)
|
-3
|
-4
|
-2
|
-4
|
-1
|
-4
|
0
|
-4
|
1
|
-4
|
2
|
-4
|
3
|
-4
|
Ahora procedemos a graficar la función.
Esta función tiene la particularidad de que los valores de x serán iguales a los valores y, su pendiente sera 1 y esta pasara por el origen, su forma es la siguiente:
f(x)=x
Siempre llevara ea forma para que sea una función identidad.
Ejemplo 4.
Tenemos la función f(x)=x
Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).
x
|
f(x)
|
-3
|
-3
|
-2
|
-2
|
-1
|
-1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
Ahora procedemos a graficar la función.
PARA TENER EN CUENTA Las funciones lineales de primer grado siempre serán graficadas como una linea recta y su dirección dependerá del valor positivo o negativo que tenga la pendiente
Funciones polinomicas de segundo grado
Su forma es:
Su forma es:
f(x)=ax² +bx + c
Donde a, b y c pueden ser cualquier numero real pero a debe ser distinto de 0, y si a es mayor a 0 (a>0) la parábola abre hacia arriba, pero si a es menor a 0 (a<0) la parábola abre hacia abajo.
Su gráfica sera una parábola y su regla de correspondencia sera un polinomio de segundo grado.
Ejemplo 5.
Tenemos dos funciones:
f(x)=-2x²+3x+4
f(x)=x²-3x+4
Si graficamos la primer función su parábola abrirá hacia abajo ya a que en la funcion esta como -2x² notamos que es menor que 0 al ser un valor negativo.
Si graficamos la segunda función su parábola abrirá hacia arriba ya a que en la función esta como x² notamos que es mayor que 0 al ser un valor positivo.
Para las funciones cuadráticas o de segundo grado es importante tener en cuenta lo siguiente:
Hallar el vértice.
Este vértice es a su vez el eje de simetría de la parábola, es decir, el punto mas bajo o mas alto de la parábola, entonces debemos de hallar las coordenadas que nos indiquen ese punto.
Paso1. Identificar cuanto vale a, b y c.
a=-2
b=3
c=4
Paso 2. Hallar el valor x del vértice.
En este caso debemos hallar el punto x y el punto y para tener las coordenadas, entonces para hallar el punto de x usamos la formula:
Puntos de Corte con el eje x.
Este punto lo obtenemos cuando y vale 0, si observamos la gráfica anterior vemos que cuando y vale 0 x toma dos valores, es decir, que la parábola corta a x en dos puntos, para hallar estos puntos haremos lo siguiente:
Paso 1. Reemplazar el valor de y o de f(x) por 0.
Nuestra ecuación es f(x)=-2x²+3x+4, si reemplazamos la y o f(x) por 0 tenemos:
Para reemplazar los valores en esta formula debemos saber que es a, b y c de nuestra ecuación que es -2x²+3x+4 = 0.
a=-2
b=3
c=4
Y ahora procedemos a reemplazar esos valores en la formula de esta manera:
Puntos de Corte con el eje y.
Funciones polinomicas de tercer grado.
Su forma es:
Ejemplo 5.
Tenemos dos funciones:
f(x)=-2x²+3x+4
f(x)=x²-3x+4
Si graficamos la primer función su parábola abrirá hacia abajo ya a que en la funcion esta como -2x² notamos que es menor que 0 al ser un valor negativo.
Para las funciones cuadráticas o de segundo grado es importante tener en cuenta lo siguiente:
Hallar el vértice.
Este vértice es a su vez el eje de simetría de la parábola, es decir, el punto mas bajo o mas alto de la parábola, entonces debemos de hallar las coordenadas que nos indiquen ese punto.
Paso1. Identificar cuanto vale a, b y c.
En este caso vamos a usar la ecuación f(x)=-2x²+3x+4 y tendremos que:
a=-2
b=3
c=4
Paso 2. Hallar el valor x del vértice.
En este caso debemos hallar el punto x y el punto y para tener las coordenadas, entonces para hallar el punto de x usamos la formula:
x=-b/2a
Y reemplazamos los valores que nos pide la formula:
x=-b/2a
x=-3/2(-2)
x=-3/-4
x=0.75
Paso 3. Hallar el valor y del vértice.
Para este caso de hallar el punto y vamos a reemplazar el valor que hallamos de x anteriormente, en la ecuación general así:
f(x)=-2x²+3x+4
f(x)=-2(-3/-4)²+3(-3/-4)+4
f(x)=-2(9/16)+(-9/-4)+4
f(x)=(-18/16)+(9/4)+4
f(x)=(-9/8)+(9/4)+4
f(x)=41/8
f(x)=5.12
Paso 4. Ubicar los puntos en la gráfica.
Ya tenemos las coordenadas (0.75, 5.15), así que procedemos a ubicar ese punto en la gráfica que ya teníamos de nuestra función y notamos en la gráfica que justo en el punto A están ubicadas las coordenadas que hallamos, es decir que hallamos el punto mas alto de nuestra parábola.
Puntos de Corte con el eje x.
Este punto lo obtenemos cuando y vale 0, si observamos la gráfica anterior vemos que cuando y vale 0 x toma dos valores, es decir, que la parábola corta a x en dos puntos, para hallar estos puntos haremos lo siguiente:
Paso 1. Reemplazar el valor de y o de f(x) por 0.
Nuestra ecuación es f(x)=-2x²+3x+4, si reemplazamos la y o f(x) por 0 tenemos:
f(x)=-2x²+3x+4
0=-2x²+3x+4
Ahora tenemos una ecuación cuadrática la cual vamos a resolver usando la forma para resolver este tipo de ecuaciones.
Paso 2. Usar la formar de solución de ecuación cuadrática para resolver la ecuación.
La formula que se usa es:
a=-2
b=3
c=4
Y ahora procedemos a reemplazar esos valores en la formula de esta manera:
Una vez aquí sabemos que tendremos dos resultados, uno donde sumamos y otro donde restamos, para la suma el resultado sera:
Y si restamos tendremos:
Eso nos deja con dos puntos donde la parábola corta al eje x que son -0.85 y 2.35, si miramos la gráfica podemos comprobar estos puntos.
Puntos de Corte con el eje y.
Este punto lo obtenemos cuando x vale 0, si observamos la gráfica anterior podríamos deducir que la gráfica corta a al eje y en el punto 4, es decir que cuando x vale 0 y vale 4, pero vamos a comprobar esto.
Paso 1. Reemplazar la x de nuestra función por 0.
Nuestra función es f(x)=-2x²+3x+4, si reemplazamos todas la x por o tenemos:
f(0)=-2(0)²+3(0)+4
f(x)=4
Entonces comprobamos que el punto de corte del eje y es 4.
Su forma es:
f(x)=ax³ +bx² + cx + d
Donde a, b, c y d pueden ser cualquier numero real pero a debe ser distinto de 0.
Ejemplo 6.
Tenemos las ecuaciones
f(x)=x³ +x² + x + 1
f(x)=-x³ -x² -x - 1
Si las graficamos obtenemos lo siguiente:
Dependiendo de si a es mayor o menor que 0 cambia la direccion de la linea de la grafica.
Ejemplo 6.
Tenemos las ecuaciones
f(x)=x³ +x² + x + 1
f(x)=-x³ -x² -x - 1
Si las graficamos obtenemos lo siguiente:
Dependiendo de si a es mayor o menor que 0 cambia la direccion de la linea de la grafica.
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