Funciones Matemáticas Introducción.

Una función relaciona cada elemento de un conjunto
con un elemento exactamente de otro conjunto, teniendo en cuenta que para cada elemento del primer conjunto hay uno y solo un elemento del segundo conjunto con el cual relacionarse.

En términos generales una función es como un caja transformadora, tiene una puerta de entrada y una puerta de salida, lo que entra como se transforma y lo que sale esta todo relacionado entre si.

A continuación tenemos la siguiente tabla:

Valores del eje x	Valores del eje y
1	2
2	4
3	6

Si gráfícamos los datos de la tabla normalmente tendremos la siguiente gráfica:

Entonces acabamos de relacionar los elementos de dos conjuntos y tenemos que esto es una función, ¿Pero cual es la función de esta gráfica?,  ¿Que relación hay entre el conjunto de las x y el conjunto de las y?.

Analizando la situación notamos que mientras que las x avanzan un paso, las y avanzan dos pasos, por lo que la relación que hay es que las x son multiplicadas por 2 para que den los valores de y.

Entonces si lo expresamos matemáticamente seria  y=2x.

Para expresarlos como función usamos  F(x)=2x, se le como f de x es igual a. Esta función es lo que transforma las entradas en salidas, por ejemplo:

Cuando x=1, y =2, reemplazamos este valor de x en la función y tenemos que F(1)=2(1), F(1)=2, esto se cumple para todos lo valores de x que están en la tabla.

IMPORTANTE:

El dominio es el conjunto de las x.

El codominio es el conjunto de las y.

El rango sera los valores de salida de la función.

PARA TENER EN CUENTA:

Si por ejemplo trazáramos lineas imaginarias verticales en la gráfica y la recta de esta gráfica corta un de esas lineas mas de dos veces, entonces no es una función.

UN POCO DE HISTORIA....

Siglo XVII, aparece el concepto de funcion por Descartes, Leibniz y Gottfried.

La notacion f(x) aparece en 1736 por Clairaut.

Información obtenida de:

http://www.educatina.com/matematicas/analisis-matematico/funciones/introduccion-a-funciones/que-es-una-funcion-video
™Wikipedia, documento http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz.
™Wikipedia, documento http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
™Wikipedia, documento http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
™Ditutor documentoshttp://www.ditutor.com/funciones/funcion_clasificacion.html
™InstituciónEducativaSagradoCorazóndeJesús,documentohttp://funcionesmatemtcasgrado9.blogspot.com/p/clasificacion-de-funciones.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html

Funciones Matemáticas Clasificacion

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES MATEMÁTICAS.

FUNCIONES MATEMÁTICAS ALGEBRAICAS

Su regla de correspondencia es una expresión algebraica, por ejemplo f(x)=5x+5 o 6x+4y+2=0.

Hagamos unos ejercicios.

Ejercicio 1: 

f(x)=5x+4

En este caso solo debemos escoger un rango de valores de x por ejemplo desde el -3 hasta el 3 y reemplazar esos valores en la función.

Entonces reemplazando estos valores tenemos:

x	f(x)
-3	-11
-2	-6
-1	-1
0	4
1	9
2	14
3	19

Y ahora procedemos a graficar:

Ejercicio 2:

5x+6y-7=2

En este caso tenemos una función implícita, es decir, que debemos despejar para obtener la forma de función, y en tes caso vamos a despejar y.

Entonces efectuando las operaciones correspondientes nos queda que:

1 paso. Igualamos a 0.

5x+6y-7-2=2-2
5x+6y-9=0

2 paso. Dejamos sola la y.

5x-5x+6y-9=0-5x
6y-9=-5x
6y-9+9=9-5x
6y=9-5x

3 paso. Despejamos la y.

6y/6=9-5x/6

y=9-5x/6

f(x)=(9-5x)/6

Ahora nos queda hacer la sustitución de valores como se hizo en el ejemplo, para esta caso tomaremos los valores de x desde el -4 hasta el 4.

x	f(x)
-4	4,83
-3	4
-2	3,17
-1	2,33
0	1,5
1	0,67
2	-0,2
3	-1
4	-1,8

Y ahora procedemos a graficar:

Las funciones algebraicas pueden ser:

Polinomicas

Racionales

Radicales

A trozos

Dominio de funciones

Dominio de funciones matemáticas

Funciones matemáticas algebraicas polinomicas

Funciones Algebraicas Polinomicas

Son aquellas funciones en las que su regla de correspondencia es un polinomio y su dominio sera los números reales.

Funciones polinomicas de primer grado.

Tienen la siguiente forma:

f(x)=mx+n

Su gráfica sera una recta oblicua que esta definida por dos puntos de la función y su regla de correspondencia sera un polinomio de primer grado.

Estas a su vez se clasifican en:

Función afín.

Su gráfica rea una recta oblicua que esta definida por dos puntos de la función donde m es la pendiente de la recta y n el punto donde la recta corta al eje y y el valor de x es 0.

f(x)=mx+n

Ejemplo 1. 

Tenemos la siguiente funcion f(x)=4x+3

Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).

x	f(x)
-3	-9
-2	-5
-1	-1
0	3
1	7
2	11
3	15

Ahora procedemos a graficar la función.

Función lineal

Es una función polinomio de primer grado donde su trafica sera una recta y su forma es:

f(x)=mx+b

Donde m es la pendiente, x es la variable independiente y b el intercepto en y.

Ejemplo 2.

Tenemos la siguiente función f(x)=-5x-1

Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).

x	f(x)
-3	14
-2	9
-1	4
0	-1
1	-6
2	-11
3	-16

Ahora procedemos a graficar la función.

Función constante

Su regla esta compuesta por una contante por lo que su recta sera una linea recta paralela al eje y y su forma es:

f(x)=k

Donde k es una constante.

Ejemplo 3.

Tenemos la siguiente función f(x)=-4

Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x), cabe notar que como en la función no hay x que reemplazar todas las salidas serán -4.

x	f(x)
-3	-4
-2	-4
-1	-4
0	-4
1	-4
2	-4
3	-4

Ahora procedemos a graficar la función.

Función identidad

Esta función tiene la particularidad de que los valores de x serán iguales a los valores y, su pendiente sera 1 y esta pasara por el origen, su forma es la siguiente:

f(x)=x

Siempre llevara ea forma para que sea una función identidad.

Ejemplo 4.

Tenemos la función f(x)=x

Vamos a graficar los valores de x desde -3 hasta 3, primero elaboramos la tabla con los valores de x y f(x).

x	f(x)
-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3

Ahora procedemos a graficar la función.

PARA TENER EN CUENTA Las funciones lineales de primer grado siempre serán graficadas como una linea recta y su dirección dependerá del valor positivo o negativo que tenga la pendiente

Funciones polinomicas de segundo grado 

Su forma es:

f(x)=ax² +bx + c

Donde a, b y c pueden ser cualquier numero real pero a debe ser distinto de 0, y si a es mayor a 0 (a>0) la parábola abre hacia arriba, pero si a es menor a 0 (a<0) la parábola abre hacia abajo.

Su gráfica sera una parábola y su regla de correspondencia sera un polinomio de segundo grado.

Ejemplo 5.

Tenemos dos funciones:
f(x)=-2x²+3x+4

f(x)=x²-3x+4

Si graficamos la primer función su parábola abrirá hacia abajo ya a que en la funcion esta como -2x² notamos que es menor que 0 al ser un valor negativo.

Si graficamos la segunda función su parábola abrirá hacia arriba ya a que en la función esta como x² notamos que es mayor que 0 al ser un valor positivo.

Para las funciones cuadráticas o de segundo grado es importante tener en cuenta lo siguiente:

Hallar el vértice.

Este vértice es a su vez el eje de simetría de la parábola, es decir, el punto mas bajo o mas alto de la parábola, entonces debemos de hallar las coordenadas que nos indiquen ese punto.

Paso1. Identificar cuanto vale a, b y c.

En este caso vamos a usar la ecuación f(x)=-2x²+3x+4 y tendremos que:

a=-2
b=3
c=4

Paso 2. Hallar el valor x del vértice.

En este caso debemos hallar el punto x y el punto y para tener las coordenadas, entonces para hallar el punto de x usamos la formula:

x=-b/2a

Y reemplazamos los valores que nos pide la formula:

x=-b/2a

x=-3/2(-2)

x=-3/-4

x=0.75

Paso 3. Hallar el valor y del vértice.

Para este caso de hallar el punto y vamos a reemplazar el valor que hallamos de x anteriormente, en la ecuación general así:

f(x)=-2x²+3x+4

f(x)=-2(-3/-4)²+3(-3/-4)+4

f(x)=-2(9/16)+(-9/-4)+4

f(x)=(-18/16)+(9/4)+4

f(x)=(-9/8)+(9/4)+4

f(x)=41/8

f(x)=5.12

Paso 4. Ubicar los puntos en la gráfica.

Ya tenemos las coordenadas (0.75, 5.15), así que procedemos a ubicar ese punto en la gráfica que ya teníamos de nuestra función y notamos en la gráfica que justo en el punto A están ubicadas las coordenadas que hallamos, es decir que hallamos el punto mas alto de nuestra parábola.

Puntos de Corte con el eje x.

Este punto lo obtenemos cuando y vale 0, si observamos la gráfica anterior vemos que cuando y vale 0 x toma dos valores, es decir, que la parábola corta a x en dos puntos, para hallar estos puntos haremos lo siguiente:

Paso 1. Reemplazar el valor de y o de f(x) por 0.

Nuestra ecuación es f(x)=-2x²+3x+4, si reemplazamos la y o f(x) por 0 tenemos:

f(x)=-2x²+3x+4

0=-2x²+3x+4

Ahora tenemos una ecuación cuadrática la cual vamos a resolver usando la forma para resolver este tipo de ecuaciones.

Paso 2. Usar la formar de solución de ecuación cuadrática para resolver la ecuación.

La formula que se usa es:

Para reemplazar los valores en esta formula debemos saber que es a, b y c de nuestra ecuación que es -2x²+3x+4 = 0.

a=-2
b=3
c=4

Y ahora procedemos a reemplazar esos valores en la formula de esta manera:

Una vez aquí sabemos que tendremos dos resultados, uno donde sumamos y otro donde restamos, para la suma el resultado sera:

Y si restamos tendremos:

Eso nos deja con dos puntos donde la parábola corta al eje x que son -0.85 y 2.35, si miramos la gráfica podemos comprobar estos puntos.

Puntos de Corte con el eje y.

Este punto lo obtenemos cuando x vale 0, si observamos la gráfica anterior podríamos deducir que la gráfica corta a al eje y en el punto 4, es decir que cuando x vale 0 y vale 4, pero vamos a comprobar esto.

Paso 1. Reemplazar la x de nuestra función por 0.

Nuestra función es f(x)=-2x²+3x+4, si reemplazamos todas la x por o tenemos:

f(0)=-2(0)²+3(0)+4

f(x)=4

Entonces comprobamos que el punto de corte del eje y es 4.

Funciones polinomicas de tercer grado.

 Su forma es:

f(x)=ax³ +bx² + cx + d

Donde a, b, c y d pueden ser cualquier numero real pero a debe ser distinto de 0.

Ejemplo 6.

Tenemos las ecuaciones 

f(x)=x³ +x² + x + 1

f(x)=-x³ -x² -x - 1

Si las graficamos obtenemos lo siguiente:

Dependiendo de si a es mayor o menor que 0 cambia la direccion de la linea de la grafica.